انتقال حرارت در بدن انسان یکی از مهمترین پدیده های فیزیکی است که به طور قابل ملاحظه ای بر فرآیندهای زیستی بدن انسان تاثیر می گذارد. از مهمترین فرآیندهای انتقال حرارت در بدن می توان به کاربرد آن در درمان توده های سرطانی، شناسایی توده های سرطانی و هدایت دارویی اشاره کرد. این پژوهش که در قالب رساله دکترای تخصصی محمد ابراهیم دستیار در رشته ریاضی انجام شده، به هایپرترمیا یا نابود کردن سلول های سرطانی توسط گرما پرداخته است. در این تحقیق چهار مدل کاربردی مطابق با پژوهش های علمی و عملی طراحی شده است.
در مدل اول، برای تومور ناحیه ای مجزا در نظرگرفته شده و در حالت نیمه گسسته اثبات شده است که در این مدل می توان به کنترل بهینه این مساله به شکل یک کنترل بنگ-بنگ نگاه کرد. همچنین در این مدل از شرایط دوز گرمایی بهره گرفته شده تا به خوبی تاثیر گرما چه در دوره گرمادهی و چه در دوره سرد شدن محاسبه شود. برای حل این مساله از گسسته سازی شبه طیفی برای تبدیل مساله کنترل بهینه به مساله بهینه سازی و از روش بهینه سازی کولونی مورچگان برای حل مساله بهینه سازی استفاده شده است.
در مدل دوم یک مساله با هندسه ای متفاوت در نظر گرفته شده است. در این مساله یک بافت استوانه ای که یک رگ خونی از میان آن عبور می کند مورد بررسی قرار گرفته است. هدف از این مدل بررسی تاثیر جریان خون در فرآیند هایپرترمیا می باشد. برای حل این مساله ابتدا آن را به چند بلوک مجزا تقسیم کرده و با استفاده از روش شبه طیفی بلوکی گسسته سازی می کنیم. پس از این کار به یک مساله بهینه سازی کوادراتیک می رسیم که حل آن به نسبت مساله کنترل بهینه بسیار راحت تر است.
در مدل سوم با یک بافت کروی روبه رو هستیم. این موارد بیشتر در غدد داخلی مانند کبد اتفاق می افتد. که برای حل آن از روش ریتز تعمیم یافته برای دو ناحیه مجزا استفاده کرده ایم. که تابع برآورنده در این روش علاوه بر شرایط مرزی، شرایط بین ناحیه ای را نیز برآورده می کند.
در مدل چهارم تاثیرات مشتق کسری در این قبیل مسایل کنترل بهینه را مورد بررسی قرارداده ایم که برای حل آن یک ماتریس مشتق عملیاتی برای مشتق کسری ارائه شده است که می توان آن را همزمان با ماتریس های عملیاتی مشتق معمولی در یک مساله به کار برد.
نتایج این رساله را می توان به دو بخش فواید عملی و فواید ریاضی تقسیم کرد. در بخش فواید عملی؛ اول، نوآوری در طراحی مدل های منطبق با روشهای نوین عملی، دوم جلوگیری از آسیب رساندن به بافت های سالم و سوم جلوگیری از هدررفت انرژی از نتایج حاصله است. در بخش نتایج ریاضی سعی شده که روش هایی مطابق با شرایط مساله ارائه شود. چون مسایل طراحی شده اغلب دارای چند قید شامل معادلات دیفرانسیل جزئی بوده یا در برخی از مسایل از چند ناحیه مجزا تشکیل شده است که هردوی این موارد استفاده از روش های مبتنی بر شرایط لازم بهینگی را دشوارتر می کند. ضمن اینکه روش های ارائه شده از نظر خطا تحلیل شده اند تا اثباتی بر کارآمد بودن آنها باشد. همچنین نتایج به دست آمده گویای همگرایی عددی روشهای مذکور می باشد.
گفتنی است این پژوهش باراهنمایی دکتر علاءالدین ملک و دکتر سهراب علی یوسفی در دانشکده علوم ریاضی دانشگاه انجام شد.